Problema:

Calcular las cotas de error en los polinomios de Taylor de este ejercicio.

En este caso, vamos a partir de los resultados del primer ejercicio resuelto de polinomio de Taylor publicado antes. Así no tenemos que estar otra vez calculando derivadas, y podemos pasar directamente a la parte que nos interesa practicar.

Por el teorema de Taylor, el error viene dado por la siguiente expresión:

Que es igual a:

Y todo ello para un cierto punto c ∈ I (0, x).

1) En este caso tenemos que a = 0 y la derivada cuarta es:

Por tanto:

Para todo valor de x distinto de 1.

En particular, si x < 1, tenemos que:

Para cierto valor de c ∈ I (0, x). Observamos que la función:

Es creciente en el intervalo (-∞,1). Distinguimos dos casos:

CASO I: Si x > 0, entonces:

Por tanto:

CASO II: Si x < 0, entonces:

Y por tanto:

2) En este caso tenemos que a = 1 y la cuarta derivada es:

Por tanto:

Para todo valor distinto de x = -1.

En particular, si x > -1, tenemos que:

Para cierto c ∈ I (0, x). Observamos que la función:

Es decreciente en el intervalo (-1,∞). Distinguimos dos casos:

CASO I: Si x < 1, entonces:

Por tanto:

CASO II: Si x > 1, entonces:

Por tanto:

3) En este caso tenemos que a = 1 y que la cuarta derivada es:

Por tanto:

Para todo valor de x mayor que 0.

Tenemos así que:

Para c ∈ I (0, x). Observemos que la función:

Es decreciente en el intervalo (0,∞). Distinguimos dos casos:

CASO I: Si x < 1, entonces:

Por tanto:

CASO II: Si x > 1, entonces:

Por tanto:

4) Puesto que la cuarta derivada es cero, también lo será la quinta. Con lo que, sin más cálculos, podemos afirmar que el error es cero. Es decir, al aproximar la función mediante el polinomio de Taylor, no estamos cometiendo ningún error con respecto a su valor real.

Y eso es todo, de momento.