Problema:

Calcular las cotas de error en los polinomios de Taylor de este ejercicio.

En este caso, vamos a partir de los resultados del primer ejercicio resuelto de polinomio de Taylor publicado antes. Así no tenemos que estar otra vez calculando derivadas, y podemos pasar directamente a la parte que nos interesa practicar.

Por el teorema de Taylor, el error viene dado por la siguiente expresión:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos

Que es igual a:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 1

Y todo ello para un cierto punto c ∈ I (0, x).

1) En este caso tenemos que a = 0 y la derivada cuarta es:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 2

Por tanto:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 3

Para todo valor de x distinto de 1.

En particular, si x < 1, tenemos que:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 4

Para cierto valor de c ∈ I (0, x). Observamos que la función:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 5

Es creciente en el intervalo (-∞,1). Distinguimos dos casos:

CASO I: Si x > 0, entonces:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 6

Por tanto:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 7

CASO II: Si x < 0, entonces:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 8

Y por tanto:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 9

2) En este caso tenemos que a = 1 y la cuarta derivada es:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 10

Por tanto:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 11

Para todo valor distinto de x = -1.

En particular, si x > -1, tenemos que:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 12

Para cierto c ∈ I (0, x). Observamos que la función:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 13

Es decreciente en el intervalo (-1,∞). Distinguimos dos casos:

CASO I: Si x < 1, entonces:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 14

Por tanto:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 15

CASO II: Si x > 1, entonces:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 16

Por tanto:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 17

3) En este caso tenemos que a = 1 y que la cuarta derivada es:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 18

Por tanto:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 19

Para todo valor de x mayor que 0.

Tenemos así que:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 20

Para c ∈ I (0, x). Observemos que la función:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 21

Es decreciente en el intervalo (0,∞). Distinguimos dos casos:

CASO I: Si x < 1, entonces:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 22

Por tanto:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 23

CASO II: Si x > 1, entonces:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 24

Por tanto:

Error en Polinomio de Taylor 4 Ejemplos resueltos 25

4) Puesto que la cuarta derivada es cero, también lo será la quinta. Con lo que, sin más cálculos, podemos afirmar que el error es cero. Es decir, al aproximar la función mediante el polinomio de Taylor, no estamos cometiendo ningún error con respecto a su valor real.

Y eso es todo, de momento.