A continuación tienes ejemplo resuelto sobre cómo obtener el desarrollo en serie de Fourier de una función dada, para que puedas practicar por cuenta propia y sin perderte, ya que está hecho paso a paso.

Enunciado del problema:

Por favor, halle el desarrollo en serie de Fourier de la función:

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Y conteste razonadamente a la siguiente cuestión:

¿Por qué en el desarrollo anterior solo aparecen senos a pesar de que la función no es impar?

Solución

Los coeficientes de Fourier de una función definida e integrable en un intervalo de longitud T son:

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En nuestro caso T = 4. Una vez obtenido el desarrollo y dado que la función es continua a trozos y acotada, la serie será convergente en ℜ, y su suma será una función periódica de período T = 4 que en el intervalo (0,4) coincidirá con la función propuesta. Así pues:

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Para calcular las integrales, lo haremos siguiendo el método de integración por partes:

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El cálculo anterior no vale para a0 ya que la presencia de n en los denominadores impide que pueda valer cero, así que calculamos a0 directamente en la definición de an:

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El cálculo de bn es muy parecido al de an:

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El desarrollo de Fourier de la función dada es, por lo tanto:

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Por ser una función continua por tramos y acotada, su desarrollo en serie de Fourier es convergente en ℜ y su suma es una función periódica de período T = 4 que en el intervalo (0,4), coincide con:

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Si a la serie le restamos el término independiente 2/3, la suma de la serie que queda sigue siendo una función periódica con el mismo período que antes, pero ahora es:

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Es fácil comprobar que esta función es impar.

Por ello, su desarrollo solo contiene senos.

Espero que te sirva como referencia, de todas formas, aquí tienes más ejemplos de Series de Fourier resueltos.