Problema:

En una cierta fábrica se fabrican cada día una media de 40 mil metros de cable. Unos días más, otros días menos. Aunque el mínimo seguro que siempre es 30 mil metros. La variable aleatoria que recoge el número de metros de cable fabricados en un día sigue una distribución uniforme continua.

¿Cuál es el máximo de metros fabricados en un día?

¿Qué porcentaje de días se fabrican más de 34 mil metros de cable?

Solución:

Definamos nuestro Experimento Aleatorio

Experimento Aleatorio: "Analizar los metros de cable fabricados en un día al azar".

Sea la variable aleatoria continua X: "Metros de cable fabricados ese día".

Tenemos que esa variable X sigue una distribución uniforme continua donde:

  • El límite inferior del intervalo es 30'000 metros.
  • La media es 40'000 metros.

¿Cómo averiguamos el máximo de metros fabricados en un día?

Pues reconociendo que coincide con el límite superior del intervalo.

El límite superior del intervalo es desconocido, pero sabemos que:

La media de una variable aleatoria de distribución uniforme continua es [la suma de los extremos del intervalo] [partida por dos]

E(X)=\mu=\frac{a+b}{2}

Por lo que:

40000=\frac{30000+b}{2}

Directamente observamos que b es 50 mil.

El máximo de cable fabricado en un día, según esa distribución, es de cincuenta mil metros.

Eso es un caso sencillo.

Ahora vamos con la siguiente pregunta:

¿Qué porcentaje de días se fabrican más de 34 mil metros de cable?

P(X>34000)

Básicamente lo que tenemos que hacer es integrar la función de densidad de probabilidad a partir de ese valor, hasta el infinito.

¿Y cómo hacemos eso?

Pues es muy sencillo, sabemos que la función de densidad de probabilidad para una distribución uniforme continua es el inverso de la diferencia entre los extremos del intervalo.

f(x)=\frac{1}{b-a}

Obviamente para los valores de la variable que están dentro del intervalo.

En otros casos la densidad de probabilidad es nula.

Entonces, integrarla desde 34000 hasta el infinito es en realidad integrarla desde 34000 hasta el límite superior del intervalo, porque después empieza a valer cero todo el tiempo.

P(X>34000)=\int\limits_{34000}^{50000}\frac{1}{50000-30000}dx

Dado que la constante sale de la integral, nos queda que:

P(X>34000)=\frac{1}{50000-30000}(50000-34000)=0.8

Respuesta final:

  • El máximo de cable fabricado en un día, según esa distribución, es de cincuenta mil metros.
  • En el 80% de los días se fabrican más de 34 mil metros de cable.