Cota de error

Enunciado del problema:

Calcula los polinomios de Maclaurin de grado 4 de las siguientes funciones:

En el apartado (1) aproxima el valor f(1) por el valor del polinomio obtenido y calcula una cota del error cometido en la aproximación.

1) Calcularemos el polinomio de Maclaurin de grado 3 de la función derivada que, por el teorema fundamental del Cálculo, es:

Para calcular el polinomio de Maclaurin de grado 3 de esta función componemos los polinomio de Maclaurin de la función exponencial, que es:

Con el de la función x² (que coincide con dicho polinomio).

Y eliminamos los términos de grado mayor que 3, obteniendo el polinomio 1 + x². Por tanto, el polinomio de Maclaurin de grado 4 de la función f(x) es:

Siendo la constante c = f(0) = 0. Es decir:

Con este polinomio podemos ya calcular la aproximación deseada.

Calculemos ahora una cota del error cometido en la aproximación. Aplicando el teorema de Taylor a la función exponencial, obtenemos que, dado un número real t, existe un número c ∈ I(0, t) tal que:

En particular, aplicando esto al número t² obtenemos que existe un número:

Si ahora tenemos que t ∈ [0, 1], concluimos que:

Podemos ya obtener una cota del error:

2) Puesto que f(x) es un polinomio de grado 3, coincide con su polinomio de Maclaurin de grado 4.

3) Para calcular el polinomio de Maclaurin de grado 4 de esta función componemos los polinomios de Maclaurin de la función exponencial, que es:

Con el de la función sen x, que es:

Obteniendo:

Y eliminamos los términos de grado mayod que 4, con lo que nos queda:

4) Para calcular el polinomio de Maclaurin de grado 4 de esta función multiplicamos los polinomios de Maclaurin de la función exponencial, que es:

Con el de la función log(x+1), que es:

Obteniendo:

Y eliminamos los términos de grado mayor que 4, con lo que nos queda:

Y se acabó el ejercicio.

Espero que te sirva para practicar y solidificar tus conceptos.