Problema:
Calcula los polinomios de Maclaurin de grado 4 de las siguientes funciones:
En el apartado (1) aproxima el valor f(1) por el valor del polinomio obtenido y calcula una cota del error cometido en la aproximación.
1) Calcularemos el polinomio de Maclaurin de grado 3 de la función derivada que, por el teorema fundamental del Cálculo, es:
Para calcular el polinomio de Maclaurin de grado 3 de esta función componemos los polinomio de Maclaurin de la función exponencial, que es:
Con el de la función x2 (que coincide con dicho polinomio).
Y eliminamos los términos de grado mayor que 3, obteniendo el polinomio 1 + x2. Por tanto, el polinomio de Maclaurin de grado 4 de la función f(x) es:
Siendo la constante c = f(0) = 0. Es decir:
Con este polinomio podemos ya calcular la aproximación deseada.
Calculemos ahora una cota del error cometido en la aproximación. Aplicando el teorema de Taylor a la función exponencial, obtenemos que, dado un número real t, existe un número c ∈ I(0, t) tal que:
En particular, aplicando esto al número t2 obtenemos que existe un número:
Si ahora tenemos que t ∈ [0, 1], concluimos que:
Podemos ya obtener una cota del error:
2) Puesto que f(x) es un polinomio de grado 3, coincide con su polinomio de Maclaurin de grado 4.
3) Para calcular el polinomio de Maclaurin de grado 4 de esta función componemos los polinomios de Maclaurin de la función exponencial, que es:
Con el de la función sen x, que es:
Obteniendo:
Y eliminamos los términos de grado mayod que 4, con lo que nos queda:
4) Para calcular el polinomio de Maclaurin de grado 4 de esta función multiplicamos los polinomios de Maclaurin de la función exponencial, que es:
Con el de la función log(x+1), que es:
Obteniendo:
Y eliminamos los términos de grado mayor que 4, con lo que nos queda:
Y se acabó el ejercicio.
Espero que te sirva para practicar y solidificar tus conceptos.