Problema:

Calcula los polinomios de Maclaurin de grado 4 de las siguientes funciones:

Varios ejemplos resueltos de cálculo de Polinomio de Maclaurin

En el apartado (1) aproxima el valor f(1) por el valor del polinomio obtenido y calcula una cota del error cometido en la aproximación.

1) Calcularemos el polinomio de Maclaurin de grado 3 de la función derivada que, por el teorema fundamental del Cálculo, es:

Varios ejemplos resueltos de cálculo de Polinomio de Maclaurin 1

Para calcular el polinomio de Maclaurin de grado 3 de esta función componemos los polinomio de Maclaurin de la función exponencial, que es:

Varios ejemplos resueltos de cálculo de Polinomio de Maclaurin 2

Con el de la función x2 (que coincide con dicho polinomio).

Y eliminamos los términos de grado mayor que 3, obteniendo el polinomio 1 + x2. Por tanto, el polinomio de Maclaurin de grado 4 de la función f(x) es:

Varios ejemplos resueltos de cálculo de Polinomio de Maclaurin 3

Siendo la constante c = f(0) = 0. Es decir:

Varios ejemplos resueltos de cálculo de Polinomio de Maclaurin 4

Con este polinomio podemos ya calcular la aproximación deseada.

Varios ejemplos resueltos de cálculo de Polinomio de Maclaurin 5

Calculemos ahora una cota del error cometido en la aproximación. Aplicando el teorema de Taylor a la función exponencial, obtenemos que, dado un número real t, existe un número c ∈ I(0, t) tal que:

Varios ejemplos resueltos de cálculo de Polinomio de Maclaurin 6

En particular, aplicando esto al número t2 obtenemos que existe un número:

Varios ejemplos resueltos de cálculo de Polinomio de Maclaurin 7

Si ahora tenemos que t ∈ [0, 1], concluimos que:

Varios ejemplos resueltos de cálculo de Polinomio de Maclaurin 8

Podemos ya obtener una cota del error:

Varios ejemplos resueltos de cálculo de Polinomio de Maclaurin 9

2) Puesto que f(x) es un polinomio de grado 3, coincide con su polinomio de Maclaurin de grado 4.

3) Para calcular el polinomio de Maclaurin de grado 4 de esta función componemos los polinomios de Maclaurin de la función exponencial, que es:

Varios ejemplos resueltos de cálculo de Polinomio de Maclaurin 10

Con el de la función sen x, que es:

Varios ejemplos resueltos de cálculo de Polinomio de Maclaurin 11

Obteniendo:

Varios ejemplos resueltos de cálculo de Polinomio de Maclaurin 12

Y eliminamos los términos de grado mayod que 4, con lo que nos queda:

Varios ejemplos resueltos de cálculo de Polinomio de Maclaurin 13

4) Para calcular el polinomio de Maclaurin de grado 4 de esta función multiplicamos los polinomios de Maclaurin de la función exponencial, que es:

Varios ejemplos resueltos de cálculo de Polinomio de Maclaurin 14

Con el de la función log(x+1), que es:

Varios ejemplos resueltos de cálculo de Polinomio de Maclaurin 15

Obteniendo:

Varios ejemplos resueltos de cálculo de Polinomio de Maclaurin 16

Y eliminamos los términos de grado mayor que 4, con lo que nos queda:

Varios ejemplos resueltos de cálculo de Polinomio de Maclaurin 17

Y se acabó el ejercicio.

Espero que te sirva para practicar y solidificar tus conceptos.