Problema:

Un ocular micrométrico está adaptado a un microscopio para medir partes de una célula. Los errores de medida siguen una distribución N(0, σ). Demuestre que en una muestra de tamaño 2, el estadístico...

U=\frac{1}{3}X_{1}^{2}+\frac{2}{3}X_{2}^{2}

...es insesgado del parámetro σ2.

Solución:

Sabemos que un estimador es un estadístico de una muestra aleatoria.

Sabemos que es insesgado cuando su sesgo es nulo.

Ver: ¿Qué es un estimador y qué significa el sesgo?

Si nos dice que demuestre, es porque es verdad que es insesgado.

Y nosotros tenemos que comprobarlo.

Procederemos a calcular la esperanza del estimador, para comprobar si es verdad que esta es igual al parámetro σ2.

E(U)=E(\frac{1}{3}X_{1}^{2})+E(\frac{2}{3}X_{2}^{2})

La esperanza tiene propiedad de linealidad, por lo que podemos sacar las constantes.

E(U)=\frac{1}{3}E(X_{1}^{2})+\frac{2}{3}E(X_{2}^{2})

Ahora, ¿qué podemos hacer?

Las constantes son constantes y no podemos tocarlas más.

Pero podemos darnos cuenta de una cosa.

Sabemos que: La varianza de una variable aleatoria es igual a la esperanza de la variable al cuadrado menos el cuadrado de la esperanza de dicha variable.

Para el caso de la variable aleatoria X1:

Var(X_{1})=E(X_{1}^{2})-(E(X_{1})^{2}

Y sabemos también, por el enunciado:

Muestras con distribución N(0, σ) [Normal de media cero y desviación típica σ].

Por lo que cada variable tendrá:

  • Var(X1) es igual al cuadrado de la desviación típica, es decir, σ2.
  • E(X1) es igual a la media, es decir, 0.

Por lo que mirando en nuestra expresión anterior, tenemos que:

\sigma ^{2}=E(X_{1}^{2})-0

De modo que:

E(X_{1}^{2})=\sigma ^{2}

Esto podemos sustituirlo en el cálculo de la esperanza del estimador:

E(U)=\frac{1}{3}\sigma ^{2}+\frac{2}{3}\sigma ^{2}

Como un tercio y dos tercios suman una unidad, tenemos que:

E(U)=\sigma ^{2}

Que demuestra que la esperanza del estimador es equivalente al parámetro a estimar, por lo que el sesgo es nulo.

Y así hemos demostrado el asunto.

Espera, ¿por qué sabes que es nulo el sesgo?

Porque se define el sesgo como la diferencia entre la esperanza del estimador y el parámetro a estimar.

Son iguales, pues no hay diferencia entre ellos.

Respuesta final:

Así queda demostrado que, efectivamente, el estimador U es insesgado para el parámetro σ2.