Problema:

Sea f(x) la función definida como:

1 105

Para todo valor de x distinto al cero.

1) Calcula f(0) y halla el polinomio de Maclaurin de grado 4 de f.

2) Halla el polinomio de Maclaurin de grado 5 de la función g definida por la siguiente igualdad:

1 106

3) Calcula aproximadamente g(0,5) utilizando el polinomio hallado.

1) Para que la función f sea continua en x = 0 debe ocurrir lo siguiente:

1 107

Luego definimos:

1 108

Para calcular el polinomio de Maclaurin de f observamos que el polinomio de Maclaurin de grado 6 de cos x es:

1 109

Luego el polinomio de Maclaurin de grado 6 de cos x-1 no es más que:

1 110

Y dividiendo ahora por x2 vemos que el polinomio de Maclaurin de grado 4 de la función f es:

1 111

2) Sabemos que el polinomio de Maclaurin de grado 6 de cos t es:

1 113

 

Entonces el polinomio de Maclaurin de grado 6 de cos t-1 es:

1 114

Dividiendo por t2 vemos que:

1 115

Ahora integramos para comprobar que el polinomio de grado 5 de:

1 116

Es:

1 117

Finalmente, cambiando de signo y sumando x obtenemos que el polinomio de Maclaurin de grado 5 de g(x) es:

1 118

3) Una aproximación a g(0,5) es:

1 119

Nota: Es posible dar una estimación del error que cometemos con esta aproximación observando lo siguiente:

1 120

Entonces:

1 121

En particular, tomando x = 0,5 obtenemos que:

1 122