Enunciado del problema:
Sea f(x) la función definida como:
Para todo valor de x distinto al cero.
1) Calcula f(0) y halla el polinomio de Maclaurin de grado 4 de f.
2) Halla el polinomio de Maclaurin de grado 5 de la función g definida por la siguiente igualdad:
3) Calcula aproximadamente g(0,5) utilizando el polinomio hallado.
1) Para que la función f sea continua en x = 0 debe ocurrir lo siguiente:
Luego definimos:
Para calcular el polinomio de Maclaurin de f observamos que el polinomio de Maclaurin de grado 6 de cos x es:
Luego el polinomio de Maclaurin de grado 6 de cos x-1 no es más que:
Y dividiendo ahora por x2 vemos que el polinomio de Maclaurin de grado 4 de la función f es:
2) Sabemos que el polinomio de Maclaurin de grado 6 de cos t es:
Entonces el polinomio de Maclaurin de grado 6 de cos t-1 es:
Dividiendo por t2 vemos que:
Ahora integramos para comprobar que el polinomio de grado 5 de:
Es:
Finalmente, cambiando de signo y sumando x obtenemos que el polinomio de Maclaurin de grado 5 de g(x) es:
3) Una aproximación a g(0,5) es:
Nota: Es posible dar una estimación del error que cometemos con esta aproximación observando lo siguiente:
Entonces:
En particular, tomando x = 0,5 obtenemos que:
