Problema:

Calcula los polinomios de Taylor de grado 4 de las funciones que se indican a continuación alrededor del punto dado.

Recordar: Los polinomios de Taylor de una función se utilizan para aproximar los valores de dicha función en puntos cercanos al valor de c.

El polinomio que nos piden es de grado 4, con la que tendrá la expresión siguiente:

1) En este caso tenemos que el punto a = 0 y, por tanto, debemos calcular hasta cuatro derivadas de la función original f'(0), f''(0), f'''(0) y f4)(0).

Para averiguar la primera derivada:

Para la derivada segunda tenemos:

Para la tercera:

Para la cuarta:

Con todo esto tenemos que nuestro polinomio queda así:

2) En este caso tenemos que a = 1 y, por tanto, debemos calcular las derivadas f'(1), f''(1), f'''(1) y f4)(1).

Primera:

Segunda:

Tercera:

Cuarta:

Con todo esto tenemos que:

3) En este caso, como en el anterior, tenemos que a = 1 y, por tanto, debemos calcular las derivadas f'(1), f''(1), f'''(1) y f4)(1).

Primera:

Con lo que:

Segunda:

Tercera:

Cuarta:

Con todo esto ya tenemos nuestro polinomio de Taylor:

4) En esta ocasión, nos lo piden alrededor del punto a = 2 con lo que habrá que hallar las derivadas f'(2), f''(2), f'''(2) y f4)(2).

La primera la obtenemos así de fácil:

Con lo que:

Para la segunda:

Respecto a la tercera:

Para la cuarta y última, tenemos:

Y con todo esto nos queda, finalmente:

Simple.

Ejercicio 2

Problema:

Calcular el polinomio de Taylor de grado 2, centrado en c = 1, de la función:

Utilizar dicho polinomio para aproximar el valor de f(1.01).

Solución:

El polinomio pedido tiene la siguiente expresión:

Por otro lado, se tiene:

A partir de estos cálculos, simplemente tenemos que sustituir los valores obtenidos en la expresión del polinomio y sustituir en este el valor para el que nos piden la aproximación:

Ya ves que es bastante sencillo, ¿verdad?