Problema:

Calcula los polinomios de Taylor de grado 4 de las funciones que se indican a continuación alrededor del punto dado.

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso

Recordar: Los polinomios de Taylor de una función se utilizan para aproximar los valores de dicha función en puntos cercanos al valor de c.

El polinomio que nos piden es de grado 4, con la que tendrá la expresión siguiente:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 1

1) En este caso tenemos que el punto a = 0 y, por tanto, debemos calcular hasta cuatro derivadas de la función original f'(0), f''(0), f'''(0) y f4)(0).

Para averiguar la primera derivada:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 2

Para la derivada segunda tenemos:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 3

Para la tercera:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 4

Para la cuarta:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 5

Con todo esto tenemos que nuestro polinomio queda así:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 6

2) En este caso tenemos que a = 1 y, por tanto, debemos calcular las derivadas f'(1), f''(1), f'''(1) y f4)(1).

Primera:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 7

Segunda:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 8

Tercera:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 9

Cuarta:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 10

Con todo esto tenemos que:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 11

3) En este caso, como en el anterior, tenemos que a = 1 y, por tanto, debemos calcular las derivadas f'(1), f''(1), f'''(1) y f4)(1).

Primera:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 12

Con lo que:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 13

Segunda:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 14

Tercera:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 16

Cuarta:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 15

Con todo esto ya tenemos nuestro polinomio de Taylor:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 17

4) En esta ocasión, nos lo piden alrededor del punto a = 2 con lo que habrá que hallar las derivadas f'(2), f''(2), f'''(2) y f4)(2).

La primera la obtenemos así de fácil:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 18

Con lo que:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 19

Para la segunda:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 20

Respecto a la tercera:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 21

Para la cuarta y última, tenemos:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 22

Y con todo esto nos queda, finalmente:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 23

Simple.

Ejercicio 2

Problema:

Calcular el polinomio de Taylor de grado 2, centrado en c = 1, de la función:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 24

Utilizar dicho polinomio para aproximar el valor de f(1.01).

Solución:

El polinomio pedido tiene la siguiente expresión:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 25

Por otro lado, se tiene:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 26

A partir de estos cálculos, simplemente tenemos que sustituir los valores obtenidos en la expresión del polinomio y sustituir en este el valor para el que nos piden la aproximación:

Polinomio de Taylor Ejercicios resueltos paso a paso 27

Ya ves que es bastante sencillo, ¿verdad?