Problema:

Un almacén recibió 1000 botellas de vino. La probabilidad de que se rompa una botella durante el transporte es de 0,003. Halle la probabilidad de que el almacén haya recibido 2 botellas rotas.

Solución:

Lo que nos dicen es que hacemos mil experimentos de Bernoulli. Cada experimento de Bernoulli tiene una probabilidad de éxito de 0,003. Mira a las funciones de probabilidad y de distribución para contestar a las preguntas.

Pues va a ser que tenemos una repetición de experimentos de Bernoulli independientes. Ya habíamos nombrado esa distribución y calculado su probabilidad.

Ver artículo: Distribuciones de probabilidad más frecuentes.

Pero bueno, nosotros vamos a hacer como que no tenemos ni idea.

Pero conocemos nuestro objetivo:

Necesitamos la función de masa de probabilidad porque tenemos que mirarla, y sacar a partir de ella la función de distribución, para mirarla también.

Experimento aleatorio: "Mirar qué pasa con las botellas de vino - ¿se rompen o no?".

Espacio muestral: "Todo lo que puede pasar".

  • Una se rompe y el resto no.
  • Se rompe la cuarta y la octava y las 998 restantes no.
  • Se rompen 600 y 400 no.
  • Y un etcétera largo largo largo, pero largo de Co. Jones...

Pues eso.

Variable aleatoria N: "Número de éxitos en los mil experimentos"

O lo que es lo mismo: N: "Número de botellas rotas al finalizar el transporte de las mil botellas".

Calculando la función de probabilidad

Partimos de la información que nos dan...

  • Probabilidad de que se rompa = 0.003 = p
  • Probabilidad de que no se rompa = 1 - 0.003 = 0.997 = q

...para llegar a donde queremos llegar, paso a paso:

Se rompe ninguna.

Pues la probabilidad de que se rompan cero de mil botellas es la misma que la probabilidad de que mil botellas no se rompan.

Es decir,

Mil fracasos del experimento.

Es decir,

q^{1000}

1 de mil.

La probabilidad de que se rompa una botella es la de que se rompa una y no se rompan el resto.

Es decir,

1 éxito y 999 fracasos del experimento.

Pero... de mil formas distintas, porque no es lo mismo que se rompa la primera botella, a que se rompa la segunda, a que se rompa la número mil.

  • Hay mil combinaciones de mil elementos tomados de uno en uno.
  • O lo que es lo mismo, podemos hacer mil equipos de una persona si tenemos mil personas.

Nota: si te pierdes con esto, échale un ojo a este artículo de Variaciones y combinaciones.

Es decir,

\binom{1000}{1}\times p\times q^{999}

42 de mil.

La probabilidad de que se rompan 42 botellas es la de que se rompan 42 y no se rompan el resto.

Es decir,

42 éxitos y 1000-42 fracasos del experimento.

De las mil sobre 42 formas posibles.

Es decir,

\binom{1000}{42}\times p^{42}\times q^{1000-42}

n de mil.

La probabilidad de que se rompan n botellas es la de que se rompan n y no se rompan el resto.

Es decir,

n éxitos y 1000-n fracasos del experimento.

De mil sobre n formas posibles.

Es decir,

\binom{1000}{n}\times p^{n}\times q^{1000-n}

Perfecto.

Función de probabilidad

¿Cuál es la función que nos da la cantidad probabilidad para cualquier elemento de la variable aleatoria?

La función de masa de probabilidad.

¿Y cuál es?

Pues la que acabamos de calcular:

f(N)=\binom{1000}{N}\times p^{N}\times q^{1000-N}

Guay.

Con este invento en el bolsillo, ya podemos contestar a la pregunta.

¿Cuál es la probabilidad de que se rompan dos botellas?

f(N=2)=\binom{1000}{2}\times p^{2}\times q^{1000-2}=0.224

Respuesta final:

Poco más del 22%