Problema: Un gas ideal de coeficiente adiabático 1,4 con un volumen específico de 0,008 m3/mol y presión de 4,20 bar, se expande adiabáticamente hasta un volumen específico de 0,025 m3/mol. Seguidamente, se somete a una compresión isoterma hasta un estado en el que recupera su volumen específico inicial. Por último, se somete a un calentamiento isócoro hasta el estado inicial. Represente en un diagrama p-V los procesos sufridos por el gas y determine:

  1. La presión p3 y la temperatura T3 del punto común de los procesos isotermo e isócoro sufridos por el gas.
  2. El rendimiento del ciclo de potencia.
  3. La variación de entropía que experimenta el gas en cada uno de los procesos.

Solución paso a paso

Debemos reconocer que estamos ante un ciclo de potencia, que viene a ser un puñado de procesos termodinámicos que terminan donde empiezan, para volver a empezar, consiguiendo crear un beneficio.

Naturalmente, ese beneficio no es gratis, hay que invertir una cantidad de energía para que la cosa funcione.

A la relación entre la energía invertida y el beneficio obtenido la llamamos rendimiento.

Para empezar, nos piden la presión y temperatura en el estado número 3.

Pues toca organizar todos los estados por los que pasa el ciclo:

Estado 1:

Empezamos con un volumen específico de 0,008 m3 por mol de gas, sometido a una presión de 4,2 bar.

Si conocemos las equivalencias entre presiones, vemos que eso en unidades del sistema internacional son 4,2 · 105 Pa.

Conocidas P y v, podemos averiguar T gracias a la ecuación de estado de los gases ideales.

p_{1}V_{1}=nRT_{1}

Con lo que basta con despejar T1

T_{1}=\dfrac {p_{1}V_{1}}{nR}

Pero ojito, que nosotros no sabemos qué Volumen total tenemos entre manos.

Simplemente sabes qué volumen por unidad de mol ocupa nuestro gas.

Pero bueno, eso no supone ningún problema, porque el volumen por unidad de mol es precisamente eso.

Volumen, por unidad de mol:

v=\dfrac {V}{n}

Y basta con sustituir ese valor en nuestra expresión.

T_{1}=\dfrac {p_{1}v_{1}}{R}=\dfrac {4,2\cdot 10^{5}Pa\cdot 0,008m^{3}/mol}{8,314 J/mol\cdot K}=404 K

Quedando el estado 1 completamente determinado, podemos irnos al estado 2, sabiendo que llegamos a él mediante un proceso adiabático en el que lo llevamos hasta un volumen específico de 0,025 m3/mol.

Estado 2:

En un gas ideal, los procesos adiabáticos y reversibles verifican:

pV^{\gamma }=cte

Y lo mismo vale por cada unidad de mol.

pv^{\gamma }=cte

Luego:

p_{1}v_{1}^{\gamma }=p_{2}v_{2}^{\gamma }

Despejamos el único valor desconocido.

p_{2}=\dfrac {p_{1}v^{\gamma }_{1}}{v^{\gamma }_{2}}=p_{1}\left( \dfrac {v_{1}}{v_{2}}\right) ^{\gamma }

Y lo calculamos:

p2=4,2\cdot 10^{5}Pa\cdot \left( \dfrac {0,008m^{3}/mol}{0,025m^{3}/mol}\right) ^{1,4}=0,852\cdot 10^{5}Pa

Y con eso tenemos el estado 2 casi determinado.

Nos faltaría la temperatura, que nos la va a decir nuestra amiga la ley de los gases ideales.

pV=nRT\rightarrow T=\dfrac {pV}{nR}=\dfrac {pv}{R}

Metemos los datos:

T_{2}=\dfrac {p_{2}v_{2}}{R}=\dfrac {0,025m^{3}/mol\cdot 0,852\cdot 10^{5}Pa}{8,314J/mol\cdot K}=256K

Estado 3:

Sabemos que del estado 2 al estado 3 vamos mediante un proceso isotermo, con lo que T3=T2=256 K.

Además, nos dicen que en este estado se recupera el volumen específico inicial.

Entonces es lo más fácil que podían pedirnos.

pV=nRT

Lo dejamos en función del volumen específico.

pv=RT=cte

Pues si es constante, vale lo mismo en 2 que en 3

p_{2}v_{2}=RT=p_{3}v_{3}\rightarrow p_{3}=\dfrac {p_{2}v_{2}}{v_{3}}

Pues lo calculamos.

p_{3}=\dfrac {0,852\cdot 10^{5}Pa\cdot 0,025m^{3}/mol}{0,008m^{3}/mol}=2,66\cdot 10^{5}Pa

La respuesta al primera apartado, que nos pide la presión y temperatura del punto común de los procesos isotermo e isócoro sufridos por el gas, sería 2,66 bar y 256 K, respectivamente.

Lo del punto común no es ningún misterio, simplemente es donde termina el isotermo y empieza el isócoro.

Determinar el rendimiento del ciclo

Pues, si recordamos que el rendimiento es lo que obtengo con respecto a lo que doy, no va a haber problemas en calcularlo.

Recordemos los conceptos básicos de termodinámica, el ciclo absorbe una cantidad de flujo calor, y me genera una cantidad de flujo de trabajo.

\eta =\dfrac {W_{neto}}{Q_{absorbido}}

Yo estoy trabajando con volumen por unidad de mol, así que voy a calcular el asunto por unidad de mol, ya que no tengo ni idea de la masa total en juego.

\eta =\dfrac {w_{neto}}{q_{absorbido}}

Entonces, ¿en qué procesos se absorbe calor?

Me dicen que el primer proceso es adiabático.

Adiabático significa que no hay transferencia de calor, luego ahí nananai.

Los otros dos procesos, si no tengo ni idea, tengo que calcularlo.

Puedo suponer que como el segundo proceso es isotermo, no se transfiere calor.

Pero me estaría equivocando, hay muchos procesos que suceden a temperatura constante y en los que sí hay flujo de calor.

Sin ir más lejos, un cambio de estado de una sustancia.

Pero bueno, nosotros vamos a calcularlo para salir de dudas.

Dado que estamos ante un gas ideal, la energía interna solo es función de la temperatura.

Si no hay cambio de temperatura, no hay variación de energía interna.

Entonces la cosa es simple:

\Delta U=q-w=0\rightarrow q=w

Y el trabajo lo calculo en un momento:

w_{23}=\int ^{3}_{2}pdv

Estoy trabajando a volumen específico.

pv=RT\rightarrow p=\dfrac {RT}{v}

Saco la parte constante de la integral y resuelvo el misterio.

w_{23}=RT\int ^{3}_{2}\dfrac {dv}{v}=RT\cdot \left[ \ln v_{3}-\ln v_{2}\right] =RT\cdot \ln \dfrac {v_{3}}{v_{2}}

Dado que RT y pv vale lo mismo tanto para el estado 2 como para el 3 (al ser la T la misma en ambos estados), puedo cambiar la expresión anterior:

w_{23}=p_{2}v_{2}\cdot \ln \dfrac {v_{3}}{v_{2}}

Lo calculamos:

w_{23}=0,852\cdot 10^{5}Pa\cdot 0,025m^{3}/mol\cdot \ln \dfrac {0,008m^{3}/mol}{0,025m^{3}/mol}=-2427\dfrac {J}{mol}

Y ya está:

q_{23}=w_{23}=-2427\dfrac {J}{mol}

Nos sale un flujo de calor negativo, luego es un calor que el sistema cede al medio.

Vamos a ver qué pasa con el calor del proceso del estado 3 de vuelta al 1, teniendo en cuenta que es un proceso a volumen constante.

Como es a volumen constante, no hay flujo de trabajo, luego toda la variación de energía interna equivale al flujo de calor.

q_{31}=\Delta u=c_{v}\cdot \Delta T

El único problemilla es que no conocemos cv, y no podemos mirarlo en ninguna tabla porque no nos especifican qué gas tenemos entre manos.

Pero sí sabemos estas dos cosas.

La definición del coeficiente adiabático:

\gamma =\dfrac {c_{p}}{c_{v}}

Y la relación entre los calores específicos para un gas ideal:

c_{p}-c_{v}=R

Dos ecuaciones con dos incógnitas.

Pues, vamos a ver qué pasa, si despejamos cp en ambas.

Por un lado:

c_{p}=\gamma \cdot c_{v}

Y por otro:

c_{p}=R+c_{v}

Pues, igualamos y operamos:

c_{p}=c_{p}

\gamma \cdot c_{v}=R+c_{v}

R=\gamma \cdot c_{v}-c_{v}

R=c_{v}\left( \gamma -1\right)

c_{v}=\dfrac {R}{\gamma -1}

Ya tenemos cv en función de R y γ.

Pues ya está, retomamos la expresión anterior y calculamos:

q_{31}=c_{v}\cdot \Delta T

q_{31}=\dfrac {R}{\gamma -1}\cdot \left( T_{1}-T_{3}\right) =\dfrac {8,314 J/mol\cdot K}{0,4}\cdot \left( 404 K-256 K\right) =3076,2\dfrac {J}{mol}

En este proceso el calor es positivo, luego lo absorbe el sistema.

Entonces, el ciclo funciona así:

  • Proceso 1-2: sin flujo de calor
  • Proceso 2-3: calor cedido (2427 J/mol)
  • Proceso 3-1: calor absorbido (3076,2 J/mol)

Nótese que no estamos poniendo signos.

Los signos los decimos.

Hablar de calor cedido por el sistema es un calor negativo.

Hablar de calor absorbido por el sistema es un calor positivo.

A nosotros nos interesa dar calor barato a una máquina, ella lo absorbe (positivo para nosotros) para que ella ceda, expulse, trabajo (positivo para nosotros).

Sería negativo una máquina que absorbe trabajo (negativo) para ceder calor (negativo).

Pero bueno, el caso es que cada vez que se da una vuelta completa al ciclo, la variación de energía interna es cero, porque esta es función de estado y estamos otra vez en el punto de partida.

Es como si no nos hubiésemos movido de ese punto.

Luego, el calor neto del ciclo es igual que el trabajo neto del ciclo.

\Delta u_{ciclo}=q_{neto}-w_{neto}=0\rightarrow q_{neto}=w_{neto}

Para calcular el rendimiento necesitamos saber cuál es el calor absorbido y el trabajo neto.

El primer ingrediente lo tenemos, y el segundo es una simple diferencia:

w_{neto}=q_{neto}=q_{absorbido}-q_{cedido}=3076,2J/mol-2427J/mol=6429J/mol

El cálculo del rendimiento, entonces, es una simple cuenta:

\eta =\dfrac {w_{neto}}{q_{absorbido}}=\dfrac {649,2J/mol}{3076,2J/mol}=0,21

El rendimiento del ciclo es de un 21%

Calculamos la variación de entropía del gas en cada proceso

Para eso no podemos olvidar la definición de entropía.

Aunque para el primer proceso la cosa es bien simple.

Se trata de un proceso adiabático reversibe, donde no hay flujo de calor, luego la variación de entropía es nula.

\Delta S_{12}=\int ^{2}_{1}\left( \dfrac {\delta q}{T}\right) _{rev}=0

Para el siguiente proceso, que es isotermo, la cosa tampoco es complicada.

La temperatura constante la sacamos de la integral y tenemos que la variación de entropía es el cociente entre el flujo de calor y la temperatura constante a la que este se produce.

\Delta s_{23}=\dfrac {1}{T}\int ^{3}_{2}\left( \delta q\right) _{rev}=\dfrac {q_{23}}{T}=\dfrac {-2427J/mol}{256K}=-9,48 J/mol\cdot K

Para calcular la variación de entropía en el último proceso, vamos a aplicar la inteligencia.

Si la entropía es función de estado, y con este proceso le habremos dado la vuelta completa al ciclo, ¿qué pasa?

Pues que la variación total de entropía durante el ciclo es cero.

Y podremos jugar al cuenta-cuenta:

\Delta s_{ciclo}=\Delta s_{12}+\Delta s_{23}+\Delta s_{31}=0

Pues ya está, por fuerza:

\Delta s_{31}=-\Delta s_{23}=9,48 J/mol\cdot K

Y eso es todo.