Problema:

Un depósito rígido y térmicamente aislado, contiene 3 kg de una mezcla bifásica líquido-vapor de agua a 200 kPa con un título del 84%. La mezcla se agita mediante un sistema de paletas hasta que en el tanque solo hay vapor saturado. Determine:

  1. La cantidad de energía transferida por las paletas al agua.
  2. La variación de entropía sufrida por el agua.
  3. Represente los estados inicial y final en que se encuentra el agua en los diagramas p-v y T-s.

Solución:

Tablas: Ver tablas de propiedades termodinámicas

Nos dicen que se trata de un depósito rígido (volumen constante) y térmicamente aislado (sin intercambio de calor con el exterior).

Pues ya está todo hecho.

No hay que saber gran cosa, solo las equivalencias entre unidades de presión, para saber que 200 kPa son 2 bar.

Si no hay intercambio de calor, según el primer principio de la termodinámica, podemos decir que toda la variación de energía interna se debe a un intercambio de trabajo.

Ese trabajo es precisamente el que realizan las paletas.

Entonces, tenemos una mezcla bifásica con un título del 84%, que tendrá una energía interna determinada.

Mediante un trabajo aplicado al sistema, llevamos esa energía interna a un punto tal en el que el título es del 100%, y llegamos al punto en el que la mezcla bifásica ya no es mezcla, sino vapor saturado.

Además, llegamos a ese punto mediante una transformación que se produce a volumen constante, dado que nuestro contenedor es rígido y no puede deformarse.

En un diagrama p-v sería algo así:

Lo único que tenemos que calcular es la energía interna en ambos puntos y ver cuánto ha cambiado.

Para eso, recurrimos a las tablas de propiedades termodinámicas, y miramos las propiedades del agua saturada como líquido-vapor, para la presión que nos han dado, de 2 bar.

A esa presión, tenemos:

  • uf = 504,49 kJ/kg
  • ug = 2529,5 kJ/kg

Nosotros estamos en un término intermedio.

Pues calculamos la energía interna en nuestro punto exacto, sabiendo que estamos al 84% entre uf y ug.

u_{1}=u_{f}+0,84\cdot \left( u_{g}-u_{f}\right)

Sustituimos y vemos qué vale la cosa.

u_{1}=504,49kJ/kg+0,84(2025,01 kJ/kg)=2205,49 kJ/kg

Por cada kg de masa, en el estado 1, la energía interna de nuestra mezcla bifásica es de 2205,49 kJ.

Quiero ver qué pasa con el estado 2, sabiendo que el volumen específico es el mismo que en el estado 1.

Para eso, necesito calcuar además el volumen específico exacto en el estado 1.

v_{1}=v_{f}+0,84\cdot \left( v_{g}-v_{f}\right)

En la misma fila de la tabla donde he encontrado información sobre  la energía interna me aparece también información sobre el volumen específico, la entropía y la entalpía.

Pues, en este caso:

v_{1}=1,0605\cdot10^{-3}m^{3}/kg+0,84(0,88463 m^{3}/kg)=0,7441 m^{3}/kg

Nótese que en la tabla nos dan el valor multiplicado por 103, eso se hace para que sea más precisa la información, pero hay que deshacer ese aumento, volviendo a multiplicar por 10-3.

Y hacemos también el cálculo para el valor de la entropía, ya que también vamos a necesitarlo:

s_{1}=s_{f}+0,84\cdot \left( s_{g}-s_{f}\right)

Siendo:

s_{1}=1,5301kJ/kg K+0,84(5,597 kJ/kg K)=6,23158 kJ/kg K

Y teniendo el estado 1 completamente determinado, vamos a buscar los valores para el estado 2, recordando que el volumen específico es el mismo encontrándose el agua enteramente como vapor saturado.

¿Dónde buscamos los valores?

Pues... en las tablas.

Vamos mirando las tablas que tengan valores de agua saturada con ese volumen específico, y lo encontramos.

La única cosita es que no está el valor exacto que nosotros buscamos 0,7441 m3/kg, pero sí vemos que está entre esos dos.

Toca interpolar.

Recuerda este artículo sobre cómo interpolar paso a paso.

Mi valor buscado 0,7441 no está, pero sí están dos valores laterales cercanos, el 0,8857 y el 0,7187.

Para los valores laterales de volumen específico, tengo también la energía interna asociada.

Entonces, mediante interpolación lineal, tenemos:

u_{2}=2529,5+(0,7441-0,8857) \cdot\dfrac{2537,2-2529,5}{0,7187-0,8857}=2536,02

Es decir, que ... 2536,02kJ/kg

Y lo mismo hacemos para los valores de entropía:

s_{2}=7,1271+(0,7441-0,8857) \cdot\dfrac{7,0527-7,121}{0,7187-0,8857}=7,06918

Y con esto tenemos el problema prácticamente solucionado.

¿Cuál ha sido la variación de energía interna desde el estado 1 al estado 2?

Pues:

u_{2}-u_{1}=2536,02 kJ/kg - 2205,49 kJ/kg=330,53 kJ/kg

Pero tenemos 3 kg, con lo que la variación de energía interna total es:

\Delta U=3 kg \cdot 330,53 \dfrac{kJ}{kg}=991,59 kJ

Con la variación de entropía pasa algo similar.

Nuestro sistema está adiabáticamente aislado, con lo que no hay intercambio de calor y por tanto, la variación de entropía con respecto a la transferencia de calor es nula.

Pero sí hay una generación de entropía, que es en total la diferencia de entropía del estado 2 y el 1.

Esta generación de entropía se debe a las irreversibilidades internas que suceden al mover las paletas dentro de la sustancia para aportarle energía.

\Delta S=m \cdot (s_{2}-s_{1})=3 kg \cdot (7,06918 \dfrac{kJ}{kg K} -  6,23158 \dfrac{kJ}{kg K})=2,51 kJ/K

Ya habíamos representado el diagrama p-v, y ahora vamos a hacerlo sobre un diagrama T-s, observando que ha habido un incremento de entropía en el sistema.

Perfecto.

Respuesta final:

  1. La energía transferida por las paletas al agua es 991,59 kJ
  2. La variación de entropía sufrida por el agua es 2,51 kJ/K
  3. Los diagramas se han representado durante el ejercicio para ayudar a la comprensión.