Ejercicio 1

Enunciado:

Usando transformadas de Laplace, resuelva el siguiente problema de valores iniciales:

Solución:

Hallamos la transformada de cada uno de los miembros de la ecuación diferencial:

Al igualar estas dos transformadas y sacar factor común L[y] obtenemos:

A continuación despejamos L[y] y descomponemos en fracciones simples:

El numerador de la suma de las cinco fracciones simples ha de ser igual al numerador de la fracción del miembro anterior, de modo que al igualar esos dos polinomios, obtenemos los coeficientes:

  • A = -2
  • B = 2
  • C = 2
  • D = 6
  • E = 0

Así que la solución del problema de valores iniciales es:

Que es igual a:

Ejercicio 2

Enunciado:

Calcule la transformada inversa de Laplace de la función:

Solución:

En este problema, podemos seguir dos procedimientos:

  • Descomposición en fracciones simples.
  • Teorema del producto de transformadas.

No hay demasiada diferencia en cuanto a volumen de trabajo entre ambos, pero parece que el segundo es algo más eficiente.

Nota: ver ejercicios resueltos de convolución para practicar.

En este caso, escribimos:

Para calcular la transformada inversa de cada una de estas fracciones, aplicamos a la primera de ellas la primera fórmula de traslación (debido a la presencia de una traslación en la variable s, ya que aparece como s+1), y a la otra la tratamos como producto de transformadas.

Al aplicar la primera fórmula de traslación:

En cuanto a la otra:

Las dos últimas integrales se han resuelto empleando el método de integración por partes. Finalmente:

Ejercicio 3

Enunciado:

Resuelva el siguiente problema de valores iniciales:

Solución:

Comenzamos calculando la transformada de Laplace de ambos miembros de la ecuación diferencial:

Para el cálculo de L[g(x)] vamos a emplear dos procedimientos:

a) Cálculo directo de la transformada:

b) Mediante la función escalón unidad u(x): Para ello escribimos la función g(x) de este modo:

Y ahora, empleando la segunda fórmula de traslación, calculamos la transformada de cada sumando:

Por uno u otro procedimiento, tenemos esta expresión, que llamaremos A* para usarla después:

Los tres sumandos tienen en el denominador factores polinómicos, lo que sugiere que para calcular las transformadas inversas empleemos la descomposición en fracciones simples, o el teorema del producto de transformadas. En los dos últimos aparecen exponenciales de exponente s en el numerador, así que para ellos emplearemos además la segunda fórmula de traslación. Comenzamos descomponiendo en fracciones simples:

Donde resultan los valores:

Y por lo tanto:

Que es igual a:

Ahora podemos hallar la transformada inversa del tercer sumando de la expresión de antes A*, aplicando la segunda fórmula de traslación:

Falta la transformada inversa del segundo sumando de A*. En primer lugar descomponemos en fracciones simples:

Resultando los valores:

Y por consiguiente:

Aplicando una vez más la segunda fórmula de traslación, resulta la transformada inversa del segundo sumando de A*:

Reuniendo los tres resultados, obtenemos finalmente, después de simplificar, la solución al problema de valores iniciales propuesto: