Problema:

Se desea elevar la temperatura del aire confinado en un depósito rígido. El proceso lo podemos realizar transfiriendo calor desde un foco térmico, mediante transferencia de trabajo agitando el aire con un sistema de paletas o sometiéndolo simultáneamente a los dos procesos. Analice en qué condiciones el proceso se lleva a cabo:

  1. Con la máxima producción de entropía.
  2. Con la mínima producción de entropía.

Solución:

Lo primero que haremos es comprender qué nos pide el enunciado.

Tenemos aire encerrado en algún contenedor rígido, lo que quiere decir que este contenedor no se expande ni comprime.

Es decir, que el proceso se realizará a volumen constante.

Queremos aumentar su temperatura - la del aire que hay dentro de dicho contenedor.

Planteamos tres posibles formas de hacer esta cosa:

  • Enviar un chute de calor desde fuera, poniendo un algo caliente cerca - llámese foco térmico.
  • Agitar el aire que hay dentro del contenedor realizando trabajo con unas paletas que giren moviendo el asunto.
  • Usando ambos procesos al mismo tiempo.

Bien.

Se pide analizar la situación y ver cuándo tenemos mayor o menor generación de entropía.

Esta es la cosa:

trabajo-entropia-generacion

Supongamos una serie de hipótesis base para iniciar a resolver el tema.

  • Tratamos con un sistema cerrado.
  • El aire se comporta como un gas ideal.
  • El volumen del aire es constante durante el proceso.

Ok.

¿Qué está pasando?

Cuando estamos hablando de aire estamos considerando que en este caso es un gas ideal.

Sabemos que el aumento de la temperatura de un gas ideal se debe al aumento de su energía interna.

Sabemos que la energía interna aumenta debido a los flujos de calor y trabajo.

En las tres formas que hemos planteado, se hace:

  • O bien una transferencia exclusiva de calor.
  • O bien una transferencia exclusiva de trabajo.
  • O bien una transferencia como combinación de ambas.

Bien.

¿Cómo analizo eso de la generación de entropía?

El análisis de la entropía generada en un proceso se hace con un balance de entropía.

Debemos tener en cuenta para este balance que estamos considerando que la temperatura del foco térmico es igual que la temperatura en la frontera del sistema termodinámico.

temperatura-fisica-ejercicio

El balance de entropía habla de procesos internamente reversibles y considerando la temperatura en la frontera del sistema.

De ahí deducimos que el valor de la entropía generada en el proceso es:

generacion-entropia-formula

La variación de entropía la podemos reflejar mediante la ecuación TdS - Ver Ecuaciones TdS:

ecuacion-tds

El término pdV es cero porque, como hemos dicho, no hay variación de Volumen.

Para un gas ideal, la energía interna (U) es función de la temperatura, teniendo que:

ΔU = mcvΔT

Y lo hemos sustituido de forma diferencial, obteniendo luego la suma total, integrando.

Okay.

Con esto ya podemos representar el valor de la generación de entropía:

generacion-entropia-problema

Observando la expresión, vemos que para un aumento de temperatura desde T1 hasta T2, el valor de la generación de entropía es mayor cuanto menor sea la cantidad de calor transferido al sistema.

¿Por qué?

Porque al ser menor el valor de Qtransferido el cociente negativo es más pequeño y se queda el valor del cociente positivo, haciendo que la cantidad total sea mayor. Míralo bien.

¿Y cuándo es el valor máximo?

Pues cuando el cociente negativo no exista.

Es decir, cuando no haya transferencia de calor.

En tal caso, si no hay transferencia de calor, todo el proceso se lleva a cabo con un aumento de energía interna debido exclusivamente al trabajo inyectado por las aletas.

ecuacion-energia-problema-resuelto

De forma similar hacemos para saber cuál es el valor mínimo de entropía generada.

¿Cuándo es la mínima generación de entropía?

generacion-entropia-problema

Pues cuando el calor transferido al sistema sea máximo, en cuyo caso el calentamiento del aire se produce solo y exclusivamente por transferencia de calor.

Respuesta final:

Valor máximo: cuando toda la transferencia de energía es por trabajo.

Valor mínimo: cuando el calentamiento del aire se produce solo y exclusivamente por transferencia de calor.