Ejercicio 1
Enunciado:
Calcule la convolución de la función coseno consigo misma.
Solución:
Cuando a = ±b, el cálculo anterior no es válido. Ahora bien, debido a la paridad del coseno, tenemos:
De modo que podemos considerar simultáneamente ambos casos:
Ejercicio 2
Enunciado:
Calcule la convolución de la función seno consigo misma.
Solución:
Como antes, los casos a = ±b quedan excluidos de este cálculo. El seno es una función impar, así que tenemos:
Con lo que la convolución para a = b y para a = -b tienen signos opuestos. Basta pues con calcular una de ellas:
Ejercicio 3
Enunciado:
Calcule la convolución de las funciones seno y coseno.
Solución:
Los casos a = ±b quedan una vez más excluidos de este cálculo, pero por ser el coseno par y el seno impar, tenemos:
Así que basta con considerar el caso a = b:
Ejercicio 4
Enunciado:
Halle la transformada inversa de Laplace de la función:
Solución:
Descomponiendo en factores:
[mambovip]
A continuación se calcula la convolución empleando la solución que hemos calculado en el ejercicio 1, del producto de seno por seno.
Ejercicio 5
Enunciado:
Halle la transformada inversa de Laplace de la función:
Solución:
Descomponiendo la fracción dada en dos factores, se puede aplicar el teorema del producto de transformadas.
Se trata pues de calcular la función convolución de sen ax y cos ax, para lo que empleamos la solución obtenida en el ejercicio 3, es decir:
Ejercicio 6
Enunciado:
Halle la transformada inversa de Laplace de la función:
Solución:
Comenzamos factorizando la función para poder aplicar el teorema del producto de transformadas:
Las transformadas inversas de cada uno de los factores son:
De modo que de acuerdo con el teorema del producto de transformadas, tenemos:
La convolución tiene la propiedad asociativa, lo que permite calcular en primer lugar la convolución de 4 con sen 2x y luego, la de esta con sen 2x. Por lo tanto:
[/mambovip]
Y a continuación:
De las dos últimas integrales, la primera es inmediata y la segunda se reduce a otras dos también inmediatas, de modo que tenemos:
Así de sencillo.