Ejercicio 1

Enunciado:

Calcule la convolución de la función coseno consigo misma.

Solución:

Problemas resueltos de convolución

Cuando a = ±b, el cálculo anterior no es válido. Ahora bien, debido a la paridad del coseno, tenemos:

Problemas resueltos de convolución 1

De modo que podemos considerar simultáneamente ambos casos:

Problemas resueltos de convolución 2

Ejercicio 2

Enunciado:

Calcule la convolución de la función seno consigo misma.

Solución:

Problemas resueltos de convolución 3

Como antes, los casos a = ±b quedan excluidos de este cálculo. El seno es una función impar, así que tenemos:

Problemas resueltos de convolución 4

Con lo que la convolución para a = b y para a = -b tienen signos opuestos. Basta pues con calcular una de ellas:

Problemas resueltos de convolución 5

Ejercicio 3

Enunciado:

Calcule la convolución de las funciones seno y coseno.

Solución:

Problemas resueltos de convolución 6

Los casos a = ±b quedan una vez más excluidos de este cálculo, pero por ser el coseno par y el seno impar, tenemos:

Problemas resueltos de convolución 7

Así que basta con considerar el caso a = b:

Problemas resueltos de convolución 8

Ejercicio 4

Enunciado:

Halle la transformada inversa de Laplace de la función:

Problemas resueltos de convolución 9

Solución:

Descomponiendo en factores:

Problemas resueltos de convolución 10

[mambovip]

A continuación se calcula la convolución empleando la solución que hemos calculado en el ejercicio 1, del producto de seno por seno.

Problemas resueltos de convolución 11

Ejercicio 5

Enunciado:

Halle la transformada inversa de Laplace de la función:

Problemas resueltos de convolución 12

Solución:

Descomponiendo la fracción dada en dos factores, se puede aplicar el teorema del producto de transformadas.

Problemas resueltos de convolución 13

Se trata pues de calcular la función convolución de sen ax y cos ax, para lo que empleamos la solución obtenida en el ejercicio 3, es decir:

Problemas resueltos de convolución 14

Ejercicio 6

Enunciado:

Halle la transformada inversa de Laplace de la función:

Problemas resueltos de convolución 15

Solución:

Comenzamos factorizando la función para poder aplicar el teorema del producto de transformadas:

Problemas resueltos de convolución 16

Las transformadas inversas de cada uno de los factores son:

Problemas resueltos de convolución 17

De modo que de acuerdo con el teorema del producto de transformadas, tenemos:

Problemas resueltos de convolución 18

La convolución tiene la propiedad asociativa, lo que permite calcular en primer lugar la convolución de 4 con sen 2x y luego, la de esta con sen 2x. Por lo tanto:

Problemas resueltos de convolución 19

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Y a continuación:

Problemas resueltos de convolución 20

De las dos últimas integrales, la primera es inmediata y la segunda se reduce a otras dos también inmediatas, de modo que tenemos:

Problemas resueltos de convolución 21

Así de sencillo.