Ejercicio 1

Enunciado:

Calcule la convolución de la función coseno consigo misma.

Solución:

Cuando a = ±b, el cálculo anterior no es válido. Ahora bien, debido a la paridad del coseno, tenemos:

De modo que podemos considerar simultáneamente ambos casos:

Ejercicio 2

Enunciado:

Calcule la convolución de la función seno consigo misma.

Solución:

Como antes, los casos a = ±b quedan excluidos de este cálculo. El seno es una función impar, así que tenemos:

Con lo que la convolución para a = b y para a = -b tienen signos opuestos. Basta pues con calcular una de ellas:

Ejercicio 3

Enunciado:

Calcule la convolución de las funciones seno y coseno.

Solución:

Los casos a = ±b quedan una vez más excluidos de este cálculo, pero por ser el coseno par y el seno impar, tenemos:

Así que basta con considerar el caso a = b:

Ejercicio 4

Enunciado:

Halle la transformada inversa de Laplace de la función:

Solución:

Descomponiendo en factores:

[mambovip]

A continuación se calcula la convolución empleando la solución que hemos calculado en el ejercicio 1, del producto de seno por seno.

Ejercicio 5

Enunciado:

Halle la transformada inversa de Laplace de la función:

Solución:

Descomponiendo la fracción dada en dos factores, se puede aplicar el teorema del producto de transformadas.

Se trata pues de calcular la función convolución de sen ax y cos ax, para lo que empleamos la solución obtenida en el ejercicio 3, es decir:

Ejercicio 6

Enunciado:

Halle la transformada inversa de Laplace de la función:

Solución:

Comenzamos factorizando la función para poder aplicar el teorema del producto de transformadas:

Las transformadas inversas de cada uno de los factores son:

De modo que de acuerdo con el teorema del producto de transformadas, tenemos:

La convolución tiene la propiedad asociativa, lo que permite calcular en primer lugar la convolución de 4 con sen 2x y luego, la de esta con sen 2x. Por lo tanto:

[/mambovip]

Y a continuación:

De las dos últimas integrales, la primera es inmediata y la segunda se reduce a otras dos también inmediatas, de modo que tenemos:

Así de sencillo.