Estás reposando tranquilamente en tu casa cuando de repente alguien llama a la puerta.

_ Hola, somos los números complejos, y venimos a vivir contigo.

Tú te asustas y no sabes dónde esconderte. Llamas a tu familia pero están trabajando, así que tienes que afrontar la situación por tu propia cuenta.

Pero bueno, no te agobies porque aquí vas a aprender todo lo que necesitas saber sobre números complejos, forma polar, rectangular, binomial y ejercicios resueltos para que la próxima vez que llamen a tu puerta te alegres y los dejes entrar y os toméis una tarta de queso juntos.

¿Qué son los números complejos y por qué existen?

La pregunta es buena.

Imagínate que quieres resolver la ecuación $x^2$

No puedes, pongas el número que pongas, eso no tiene solución.

Y bueno... ahí está el origen de todo esto. Gerloamo Cardano concibió la idea de unos números especiales allá por el año 1545, mientras buscaba la fórmula general de las soluciones para ecuaciones de tercer grado.

Muchos matemáticos participaron en el desarrollo de estos números, hasta consolidarse la definición que tienen hoy día.

¿Qué es entonces un número complejo?

Un número complejo es una pareja de números reales. Concretamente, un par ordenado de números reales. Para que lo entiendas, son como una coordenada en dos ejes horizontal y vertical.

  • El eje horizontal es la parte que se conoce como real.
  • El eje vertical es la parte que se conoce como imaginaria.

Por ejemplo, el par $z = (3, 2)$ es un número complejo.

Cualquier par $z = (a, b)$ es un número complejo.

Así:

Pero... ¿qué tiene de especial todo esto?

Vamos poco a poco, pero primero vamos a ver algunas operaciones básicas.

Suma de números complejos

La definición de suma es muy sencilla:

  • Parte real con parte real
  • Parte imaginaria con parte imaginaria

$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$

Producto de números complejos

La definición de producto es muy sencilla también, aunque no lo parezca:

  • Primera por primera menos segunda por segunda
  • Primera por segunda más segunda por primera

$(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)$

Ejemplo para darse cuenta de una cosa

Si hago estas operaciones con números que no tienen parte imaginaria, pasa algo curioso.

Por ejemplo, tengo los números complejos siguientes:

  • $z_1 = (x, 0)$
  • $z_2 = (y, 0)$

Al hacer la suma:

$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$

$(x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0 + 0) = (x + y, 0)$

Ejemplo de suma:

$(2, 0) + (3, 0) = (2 + 3, 0 + 0) = (5, 0)$

Al hacer el producto:

$(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)$

$(x, 0) \cdot (y, 0) = (x \cdot y - 0 \cdot 0, x \cdot 0 + 0 \cdot y) = (xy, 0)$

Ejemplo de producto:

$(2, 0) \cdot (3, 0) = (2 \cdot 3 - 0 \cdot 0, 2 \cdot 0 + 0 \cdot 3) = (6, 0)$

Curiosidad:

Fíjate que si los números no tienen parte imaginaria, se comportan como números reales de toda la vida.

El número i

Si cogemos un número complejo que tenga cero en la parte real y uno en la parte imaginaria, ese se define como el número $i$.

Por curiosidad, vamos a multiplicar un número puramente real $x$ por el número puramente complejo $i$.

Expresados ambos como pares ordenados sería hacer $(x, 0)$ por $(0, i)$

El producto sería, por definición:

$(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)$

$(x, 0) \cdot (0, 1) = (x \cdot 0 - 0 \cdot 1, x \cdot 1 + 0 \cdot 0) = (0, x)$

Entonces, vemos que:

$(0, x) = x \cdot i$

Y de esta gracia, obtengo lo que se llama representación binómica de un número complejo.

Representación binómica de un número (a, b)

Puedo decir que $(a, b)$ es la suma de $(a, 0) + (0, b)$

Puedo decir que $(a, 0)$ es el número real $a$, porque no tiene parte imaginaria.

Puedo decir que $(0, b)$ es el número $b \cdot i$

Luego es también verdad que:

$(a, b) = a + bi$

Y ahí la tenemos, nuestra representación en forma binómica.

¿Qué pasa si elevo i al cuadrado?

Pues vamos a verlo:

$i^2 = i \cdot i = (0, 1) \cdot (0, 1)$

Es un producto de dos números complejos, pues vamos a hacerlo:

$(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)$

$(0, 1) \cdot (0, 1) = ( 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = (-1, 0) = -1$

El cuadrado de $i$ me da como resultado el número real $-1$.

De ahí que se pueda tener a veces la idea de que se define $i$ como la raíz cuadrada de $-1$, pero eso no es verdad.

Se define $i$ como el número complejo $(0, 1)$, lo otro es un resultado que viene en consecuencia de la definición del producto y haber hecho el producto de $i$ por $i$.

Otras formas de expresar números complejos

Sabiendo que un número complejo es un par ordenado con unas propiedades determinadas, hemos visto que se puede expresar en forma binómica como $a + bi$, siendo $a$ la parte real y $b$ la parte imaginaria.

Pero hay otras formas de expresar el mismo número.

Notación trigonométrica o polar

Si dibujamos una circunferencia centrada en el origen que pase por el número complejo $i = (0, 1)$, tenemos algo como esto:

Esa igualdad que vemos, es la que se conoce como Relación de Euler.

$e^{i\phi} = cos \phi + i sen \phi$

Hemos expresado el número complejo que indica la flecha de dos maneras equivalentes:

  • Forma polar: $z_1 = e^{i\phi}$
  • Forma trigonométrica: $z_1 = cos \phi + i sen \phi$

Si esa circunferencia no tuviese como radio una unidad, sino que fuese de un radio cualquiera $r > 0$, es casi igual:

  • Forma polar: $z_2 = r \cdot e^{i\phi} = r \angle \phi$
  • Forma trigonométrica: $z_2 = r \cdot [ cos \phi + i sen \phi ]$

Podemos expresar el mismo número de diferentes formas.

Cómo pasar de forma binómica a polar

Partiendo de un número complejo $a + bi$, la forma polar sería $r \angle \phi$

Donde $r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Y donde $\phi=\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$

Cómo pasar de forma polar a binómica

Partiendo de un número complejo$r \angle \phi$, la forma binómica sería $a + bi$

Donde $a = r cos( \phi )$

Y donde $b = r sen( \phi )$