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Series

Definición, Criterios de Convergencia y Ejemplos

En este artículo se aborda el concepto de serie matemática, así como las series matemáticas más conocidas.

El contenido que vamos a desarrollar es el siguiente:

No hay que temer a las series, simplemente hay que ir despacito a la hora de querer aprender sobre ellas.

Empezando por el principio.

Concepto de Serie Matemática

La palabra serie viene del latín secuencia, cadena.

¿Y qué es una serie matemática?

La suma de una cadena de números.

Imagina que coges los números naturales y los vas sumando.

El primero, con el segundo, con el tercero, etc…

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...

Y así, vas sumando, hasta el infinito y más allá.

Definición formal:

Sea \left\{ a_{n}\right\} una sucesión (conjunto) de números reales, la suma infinita:

\sum ^{\infty }_{n=1}a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}\ldots

… se denomina Serie Numérica y su término general es a_n.

Se llama sucesión de sumas parciales de la serie \left\{ a_{n}\right\} a la serie \left\{ S_{n}\right\}, que se construye así:

    \[ \begin{cases}S_{1}=a_{1}\\ S_{2}=a_{1}+a_{2}\\ S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}\\ \vdots \\ S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}\end{cases} \]

Se dice que la serie \sum a_{n} es convergente cuando la sucesión de sumas parciales tiene límite finito. Es decir, si:

    \[ \lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}=k\in \mathbb{R} \]

Espera, espera…

¿Qué estamos hablando?

Estamos hablando de series.

Estamos diciendo que una serie es una suma de un puñado muy grande de números.

En concreto, de un puñado infinito.

Estamos diciendo que si sumamos solo unos cuantos primeros números de la serie, y no infinitos números, tenemos una suma parcial.

La suma parcial S1 sería sumar solo el primer elemento de la serie.

La suma parcial S2 sería sumar el primer y segundo elemento de la serie.

La suma parcial Sn sería sumar los primeros n elementos de la serie.

La serie entera sería sumar los infinitos elementos de la serie.

Pero si sumas infinitas cosas, lo normal es que tengas un número infinitamente grande, ¿verdad?

Pues, es lo normal.

Pero… ¿qué pasa si sumo este conjunto de números?

3 + 1 + 0.006 + 0.00000021 + 0.00000000000013 + ...

Parece que los números que estoy sumando son cada vez más pequeños, ¿no?

Y se hacen tan pequeños que en algún momento, estaríamos sumando nada.

Si sigo sumando infinitamente nada, me quedo con lo que tengo.

Es decir en este caso, me quedaría con:

3 + 1 + 0.006 + muy poquito + casi nada + nada + nada ...

Es decir, la suma de los infinitos términos de mi serie, sería:

3 + 1 + 0.006 = 4.006

Bien.

En este caso, se dice que nuestra serie converge a 4.006.

Vamos a recapitular:

Una serie representa una suma infinita de números.

Si solo cojo un trozo de serie, tengo una suma parcial.

Si las sumas parciales que cojo, por muy grandes que sean, incluso si cojo los primeros millones de trillones de números, tienden todas al mismo valor, entonces eso significa que mi serie converge a ese valor.

Si, por el contrario, las sumas parciales se hacen cada vez más grandes (ya sea de forma positiva o negativa), esto es, el límite de las sumas parciales Sn se hace ±∞, decimos que la serie diverge.

Ejemplos de series numéricas

La serie que representa la suma infinita de todos los números naturales sería así:

\sum ^{\infty }_{n=1}n

Ya ves que una serie se representa con el símbolo del sumatorio (la letra Sigma).

A lo que está dentro del sumatorio, se le conoce como término general.

En nuestro caso, es un ejemplo muy sencillo, pero ya verás que el término general puede tomar distintas estructuras, representando siempre un número, para cada valor de n.

En este caso, la estructura que representa es tan simple, que directamente el número para cada valor de n es, directamente, n.

Es decir, si vamos asignando valores a n, desde el 1 hasta el infinito, como indica nuestra serie, tendríamos:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 …

Hasta el infinito.

Para que te quede claro, mira por ejemplo esta serie.

\sum ^{\infty }_{n=1}2n

Ahora, el término general es 2n. Es decir, para cualquier valor de n, el número a sumar es su doble.

Es decir:

2(1) + 2(2) + 3(2) + 4(2) + 5(2) + 6(2) ...

Es decir:

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 ...

Fácil, ¿verdad?

Y así es siempre, por ejemplo, en esta serie:

\sum ^{\infty }_{n=1}\left( \dfrac {3n^{2}+\pi }{\sqrt {n}}\right)

El término general es \left( \dfrac {3n^{2}+\pi }{\sqrt {n}}\right)

Para cada valor de n, tenemos un número más de la cadena de números que estamos sumando.

Entonces, volviendo con la serie del ejemplo:

\sum ^{\infty }_{n=1}n

Aquí se observa de forma directa que las sumas parciales son cada vez más grandes, y su límite no tiende a ningún valor en concreto.

Es decir, esta serie es divergente.

Vamos a ver unas cuantas de sumas parciales:

Está bastante claro que cuanto mayor sea el conjunto de números que sumo, mayor es la suma.

El límite de las sumas parciales cuando cojo un millón de trillones de elementos y cada vez más, esto es, cuando n tiende a infinito, se va al infinito.

No hay límite.

La serie nunca para de crecer, sin límite.

La serie diverge, se va al infinito y más allá, con el tito Buzz.

¿Y quién es ese?

Bien.

Serie Armónica

La serie armónica es así:

\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1}{n}=1+\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{3}+\dfrac {1}{4}+\ldots

¿Cómo saber si una serie converge o diverge?

Pues una opción es sumar los elementos, de uno en uno, desde el primero hasta el infinito.

Y cuando terminemos de sumar, tendremos la respuesta.

Resulta ser que este método es muy poco práctico.

Entonces, ¿cómo lo hacemos?

¿Y cómo lo han hecho otros?

Y ahí es donde entra en juego la belleza de la ciencia.

Uno investiga, y eso le ayuda al siguiente a seguir investigando.

Y eso ayuda a todos a seguir progresando.

Criterios de convergencia

Resulta que vas a salir a la calle.

Y quieres saber si tienes que llevarte un paraguas o no.

Miras por la ventana y dices… “ostras… va a caer una buena”.

Tu criterio es el que tú quieras.

También puedes no mirar por la ventana, y dejarte llevar por el criterio del azar.

O puedas llamar a tu compi que ya está en la calle, y preguntarle.

O puedes salir a la calle con los ojos cerrados, y si ves que te mojas, pues vuelves a por un paraguas.

O sigues andando y te mojas.

El caso es que haces lo que quieras.

Y lo más práctico es hacer lo que sea más fácil y lo que más te convenga.

Pasa lo mismo con las series.

Una persona que quiere o necesita saber si una serie converge, se pone a pensar.

Analiza la situación, llega a una conclusión.

Si mi serie tiene esta forma, converge.

Si el término general de mi serie verifica estas condiciones, la serie converge.

Pero resulta que no todas las series son iguales.

Y resulta que el criterio que funciona para la serie que yo estaba mirando, no me sirve para la serie que está mirando el vecino.

¿Y qué es un criterio de convergencia?

Un criterio de convergencia es una cosa que te ayuda a saber si una serie converge o no.

Es una conclusión firme a la que ha llegado alguien: si tu serie verifica estas cosas, puedo decirte si converge o no.

¿Y cuáles son esas condiciones?

Pues dependerá del criterio.

¿Y cuántos criterios hay?

Muchos.

¿Puedes darme un ejemplo?

Unos cuantos:

Criterios de convergencia

Criterio de d’Alembert

También llamado criterio del cociente.

Antes de aplicar este criterio miraremos el término general de la serie.

¿De qué serie?

De la que tengamos entre manos, de la que queramos saber si converge o no.

Y entonces nos aseguramos de que el término general de la serie siempre es positivo, para todos los valores de n del cero en adelante.

Si no se da esta condición, no pasa nada malo.

Es que simplemente no podemos aplicar este criterio.

Y si se da el caso de que todos los términos a_n son positivos, podemos aplicar el criterio.

Nos dice el señor d’Alembert: “Coja usted el cociente entre \dfrac{a_{n+1}}{a_n} y dígame cuál es su límite para valores infinitamente grandes de n”.

Lo hacemos, y recogemos el valor del límite en una variable que llamaremos como queramos, por ejemplo λ:

    \[ \lim _{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac {a_{n+1}}{a_{n}}\right) =\lambda \]

Y ahora miramos ese valor λ:

¿Y si λ es igual a uno?

Si es igual que el uno, este criterio no sirve, y no podemos dar información acerca de la serie utilizando este criterio.

Habrá que usar otro.

Criterio de Raabe

Al igual que en el caso anterior, solo podemos aplicar este criterio a series de términos positivos.

Es muy similar pero no igual.

Similar porque vamos a calcular un límite cuando n tiende a infinito, y vamos a conocer la convergencia de la serie basándonos en el valor de dicho límite.

Pero no igual, porque el límite que calculamos no es el mismo.

En este caso, es:

    \[ \lim _{n\rightarrow \infty }n\cdot \left( 1-\dfrac {a_{n+1}}{a_{n}}\right) =\lambda \]

Vale.

Según el valor de dicho límite, que estamos recogiendo en la variable λ, podremos saber qué está pasando.

¡Anda! Al revés que antes.

Sí. Y cuando λ toma el valor 1, tampoco sabemos nada.

Hay que echar mano de otro criterio distinto.

Criterio de Pringsheim

Este también se aplica solo en series de términos positivos.

Pero es un poquito distinto a los dos que acabamos de ver.

También hay un límite en juego, pero en este caso no recogemos su valor en una variable para analizarlo.

El valor que analizamos esta vez es otro.

En concreto, el del grado al que elevamos n para el cálculo de un límite.

¿Del límite de qué?

De esto:

    \[ \lim _{n\rightarrow \infty }n^{\alpha }\cdot a_{n} \]

Y el valor que analizamos es el de esa α que parece una locura.

Pero no vamos a asustarnos.

Esa letra se llama alfa, y en vez de alfa puedes poner otra que a ti te guste.

Pero el caso es que representa que ahí puede haber cualquier número real.

Y según el valor que tú encuentres, que haga que ese límite exista y sea positivo, podrás resolver tu converge-duda:

¿Qué?

Demasiado complicado, aquí mil cosas distintas y sin ejemplos ni nada, vaya locura.

Vamos a ver ejercicios de convergencia hechos paso a paso.

Ejemplos resueltos

Analizaremos la convergencia con los criterios dados, en las siguientes series:

Ejercicio 1:

    \[ \sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1}{n!}=1+\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{6}+\dfrac {1}{24}+\ldots \]

Bueno, tenemos una serie cuyo término general es el inverso del factorial de n.

Es decir, coger cada número natural del 1 al infinito, hacer su factorial, y acumular su inverso a nuestra suma infinita.

¿Eso va a converger?

Si estoy sumando una cosa con otra hasta el infinito y más allá, ¿llegará algún momento en que la suma pare de crecer?

Pues, como no tengo ganas de ponerme a sumar infinitas cosas, y como ya sé lo que es un criterio de convergencia, y como ya conozco tres criterios, voy a aplicarlos y quizás me ayuden a saber qué tengo entre manos.

Voy a recurrir al criterio de d’Alembert.

Primero tengo que mirar si la serie es de términos positivos.

Vale, podemos aplicar el criterio.

¿Qué me dice el criterio?

Mire usted el límite \lim _{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac {a_{n+1}}{a_{n}}\right) y fíjese en qué le da.

Miramos:

Nos da cero.

Y el criterio decía, “miramos el valor del límite”:

En este caso, cero es menor que uno.

Por tanto, gracias a d’Alembert, podemos afirmar que la serie que tenemos entre manos, converge.

Esto quiere decir que si seguimos sumando elementos, llegará un punto en el que seguir sumando ya no tendrá efecto, porque el valor de la suma permanecerá constante.

Ejercicio 2:

    \[ \sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {2^{n}}{n^{2}}=2+\dfrac {4}{4}+\dfrac {8}{9}+\ldots \]

Se observa rápidamente que la serie es de términos positivos, por lo que podemos aplicar el mismo criterio del cociente que antes.

Siendo el límite:

Bien.

El dos es mayor que el uno y, por tanto, basándonos en el criterio de d’Alembert podemos afirmar que nuestra serie diverge.

Podemos estar sumando unas cuantas de vidas, y nunca terminaremos.

Ejercicio 3:

    \[ \sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots \cdot \left( 2n-1\right) }{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot \ldots \cdot \left( 2n+2\right) }=\dfrac {1}{2\cdot 4}+\dfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}+\dfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}+\ldots \]

En esta serie se suma el cociente entre el producto de todos los números impares y el producto de todos los números pares.

Vamos a estudiar la convergencia de la misma, observando que es de términos positivos y que, por tanto, podemos aplicar los criterios estudiados.

Miramos el valor del límite según el criterio de d’Alembert.

Y puede parecer que tenemos un cociente de imposibilidades, pero en realidad es una cosa muy simple. Son cadenas de pares e impares hasta el par o el impar correspondiente.

Operamos el cociente multiplicando los elementos exteriores para el numerador y los interiores para el denominador, y tenemos lo siguiente.

Resulta que el valor a estudiar da uno.

Y resulta que en este caso el criterio del cociente no puede darme información.

Pues nada, habrá que dedicarse a sumar a mano hasta el infinito.

… O, habrá que utilizar un criterio diferente, que se adecúe al caso.

Vamos a ver si con el criterio de Raabe hay suerte.

El criterio de Raabe es muy similar, y aunque el límite a calcular sea distinto, la parte que puede resultar más o menos engorrosa, es la misma.

Bien.

¿Y qué nos decía el criterio de Raabe?

Si el valor del límite calculado es …

Tres medios, es decir, la mitad de tres, es mayor que uno.

Así que podemos afirmar que la serie converge.

Ejercicio 4:

    \[ \sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {b^{n}}{\left( n+1\right) 3^{n+1}}\forall b\in \mathbb{R} >0 \]

En esta serie pasa algo nuevo.

Y es que en el término general, aparte de estar la n que recorremos de 1 a infinito, está una letra b.

Esa letra en realidad es un número, lo que pasa es que el pobrecito todavía no sabe cuál es su valor.

La letra b es un parámetro.

Los parámetros son números sin personalidad, que pueden tomar cualquier valor que nos guste.

No es como el 3 por ejemplo, que sabe muy bien que es un tres y así se queda.

El número b pues… puede ser 3, o 24, o cuatro tercios de pi.

Se nos especifica la condición de que en este caso el parámetro b puede evaluarse como queramos para todo valor (\forall) de los números reales (\in \mathbb{R}) mayores que cero (> 0).

Vale, pues ya lo sabemos.

Y sabiéndolo, vemos también que la serie es de términos positivos.

Aplicamos el criterio de d’Alembert.

Y tenemos que el valor del límite es un tercio de b.

Anda…

Pero si la b es un número que vale lo que quiera, ¿cómo sé yo si el valor del límite es mayor o menor que uno?

¿Cómo puedo saber si la serie converge o diverge, si pueden pasar diferentes cosas según el valor que tome?

Ahh, pues exactamente eso.

Según el valor que tome.

Nosotros, que somos los que estamos arbitrando la situación, somos quienes tenemos que tener el control sobre la misma, y analizarla en todas sus posibilidades.

Entonces, mirando… decimos.

Fácil, ¿no?

Pues sí.

¿Pero cómo sé cuándo estoy en un caso o en otro?

Pues, despejando la b de la inecuación:

Es decir,

Anda, qué bien.

O sea, que es igual de fácil que en los ejemplos anteriores, solo que en este caso, como la serie tiene un parámetro variable, pues pasan cosas distintas según el valor que toma dicho parámetro.

Sí.

¿Y ya te has planteado qué pasa si \dfrac{b}{3} = 1?

En ese caso el criterio no nos dice nada, pero eso no quiere decir que la serie no tenga un comportamiento.

Porque lo que está claro es que la serie o converge, o diverge.

Y está claro que la b puede valer 3 si le da la gana.

Pues… para ese caso, como el criterio de d’Alembert no nos dice nada, hay que recurrir a otro criterio de convergencia que conozcamos.

Por ejemplo, el de Pringsheim, que aún no hemos usado.

Bien, habiendo encontrado un valor de alfa que hace que el límite en cuestión sea real y positivo, podemos ver qué nos dice el criterio.

Nosotros hemos encontrado el α = 1.

Luego la serie diverge.

Pero qué tontería… esto no tiene sentido. Si ahora me pongo a buscar un valor de alfa que sea mayor que uno, ya puedo decir que la serie es convergente.

Ah claro, búscalo.

Si lo encuentras, podrás afirmar que esto no tiene sentido.

Series alternadas

Estas son un tipo particular de series.

Se llaman así porque el signo de sus términos se va alternando.

Por ejemplo:

-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 + 8 - 9 ...

¿Y cómo se expresa eso?

Multiplicando por –1 y por +1 sucesivamente.

Para el ejemplo que acabo de poner sería:

(-1)(1) + (+1)(2) + (-1)(3) + (+1)(4) + (-1)(5) ...

Es decir:

    \[ \sum ^{\infty }_{n=1}\left( -1\right) ^{n}\cdot n=\left( -1\right) ^{1}\cdot 1+\left( -1\right) ^{2}\cdot 2+\left( -1\right) ^{3}\cdot 3+\left( -1\right) ^{4}\cdot 4+\ldots \]

Y precisamente ese ( -1) ^{n} es la representación de la alternancia del signo.

La definición formal de una serie alternada es:

    \[ \sum ^{\infty }_{n=1}\left( -1\right) ^{n}\cdot a_n \]

Con a_n > 0

Perfecto, ¿pero entonces la serie no es de términos positivos verdad?

No.

¿Y entonces no puedo aplicar los criterios de convergencia que acabamos de aprender verdad?

No.

¿Y qué hago?

Pues informarte de un criterio de convergencia que sí puedas utilizar en este caso.

Criterio de convergencia de Leibniz

Para aplicar este criterio, necesitamos como siempre el ingrediente a_n.

Pero ojo, que este no es el término general de la serie.

La serie lleva también el ( -1) ^{n}, pero como eso no es más que un uno que está ahí cambiando de signo, lo dejamos aparte para estudiar la cosa de forma más sencilla.

Ahora nos fijamos en el merengue importante de la situación, el a_n.

Si ponemos los términos a_n en forma de sucesión, es decir, vamos poniendo uno detrás del otro para valores crecientes de n, y vemos que a_n se hace cada vez más pequeño (esto es, la sucesión a_n es decreciente), y además de eso, para valores infinitamente grandes de n, la parte a_n tiende a hacerse cero, podemos afirmar que la serie converge.

Resulta obvio, ¿no?

Pues, si se da este caso, lo que estamos haciendo es sumar y restar cada vez valores más pequeñitos hasta que, en algún momento no estamos sumando ni restando nada.

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