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Transformada de Laplace

Explicación y Aplicaciones

Contenidos relacionados:

Ver: Tabla de Transformadas directas.

Ver: Propiedades y ejemplos resueltos.

Estás aquí porque quieres saber qué es la Transformada de Laplace.

Eso está muy bien, y ahora mismo vamos a descubrirlo.

¿Qué es la Transformada de Laplace?

Es una construcción matemática que transforma una cosa en otra.

Y un artilugio matemático que transforma una cosa en otra, es una función.

Y en este caso particular, estamos ante una función que devuelve otra función.

A eso se le llama operador.

La Transformada de Laplace es una función, y más concretamente hablando, un operador.

¿Por qué de Laplace?

Porque el señor Pierre-Simon Laplace fue quien la presentó formalmente.

¿Qué forma tiene esta transformada exactamente?

Para una función f(t), su transformada de Laplace se define así:

\mathscr{L}[f(t)]=\int_{0}^{\infty} \! e^{-st}f(t) \, \mathrm{d}t

Siempre que la integral sea convergente; es decir, para los casos en los que esta toma un valor fijo determinado.

Si la integral es divergente; es decir, que no toma un valor determinado  (por ejemplo tiende a tomar un valor infinito) entonces la transformada de Laplace no está definida en dicho caso.

¿Qué característica fundamental tiene la función resultante?

La transformada de una función f(t) es otra función que por convenio se denota como F(s).

Es una función distinta de la original que tiene una variable independiente distinta de la original.

Transformada Inversa

La transformada inversa de Laplace de F(s) sería f(t).

Es decir, deshacer la transformación.

O lo que es similar, hacer la transformación de forma inversa.

Si subo una escalera y luego la bajo, estoy en el mismo sitio.

Pues lo mismo pasa si hago la transformada inversa de la transformada.

¿Para qué sirve la Transformada de Laplace?

Para hacer que los cálculos sean más fáciles en ciertas situaciones.

¿Qué?

Imagina que tienes que trabajar con un erizo de mar.

erizo-de-mar

El erizo tiene muchos pinchos, es difícil de tratar con él.

Mejor transformarlo, y cortarle los pinchos.

Pues lo mismo pasa con algunas expresiones matemáticas, son difíciles de tratar.

Y mejor transformar-laplacearlas.

Para que sea más fácil trabajar con ellas, y resolver los problemas de forma más rápida.

¿Pero eso cómo?

Hemos dicho que la transformada de Laplace es un operador que coge una función de una variable, por ejemplo f(t), y la transforma en una función distinta, que depende de otra variable, por ejemplo F(s).

Por ejemplo, en electrónica se usa para pasar del dominio del tiempo (una variable independiente) al dominio de la frecuencia (otra variable distinta).

Ondas que a simple vista parecen muy difíciles de analizar, porque la variable independiente es el tiempo, se pueden transformar en una serie de funciones cuya variable independiente es la frecuencia angular.

De forma que es más fácil tratar con ella.

Básicamente es eso, suavizar los pinchos del erizo.

Hacer que las cosas resulten más simples.

Para solucionar ecuaciones diferenciales

Su uso más frecuente es para obtener soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Gracias a la propiedad de la transformada de la derivada de una función (ver propiedades y ejemplos aquí):

Podemos aplicar la transformada a la ecuación diferencial, reduciendo la complejidad en su resolución.

Para resolver integrales

Dado que F(s) = L[f(t)], entonces:

En particular, si a = 0:

Con la que la resolución de la integral se hace mucho más sencilla.

Para el control de procesos

Un sistema de control es un conjunto de dispositivos que se encarga de gestionar el comportamiento de otro sistema.

Por ejemplo, un sistema de control en una vivienda podría controlar la temperatura y humedad de la misma. Un sistema de control en un vehículo podría controlar el frenado ante unas determinadas circunstancias. El sistema de control de una fábrica de alimentos podría controlar la concentración exacta de un determinado aditivo, etc…

Cada vez son más las áreas del día a día en las que intervienen sistemas de control, y una de las herramientas que se utiliza para fabricarlos es precisamente la Transformada de Laplace.

¿De verdad?

Sí, al diseñar un sistema de control, hay que conocer las leyes que rigen el comportamiento de lo que va a controlarse, ya sean físicas, químicas, eléctricas, etc…

Y al traducirlas al mundo matemático, para su manejo práctico, surgen una serie de ecuaciones diferenciales, a las que se denomina como modelo del proceso, siendo este modelo una representación abstracta del proceso en cuestión, con el que trabajamos para establecer el comportamiento que debe seguir nuestro sistema automático antes los distintos estados posibles.

Para trabajar con estos modelos, se utiliza la Transformada de Laplace.

Si estás buscando ejemplos para practicar, aquí te dejo una colección de ejemplos y ejercicios resueltos de Transformada de Laplace.